Schülerforum

ich verstehe das Einsetzungsverfahren nicht.
7x + 6y = 10
- 4x - 3y = 7

Wie macht man das?
Ihr könnt es mir auch an einem anderen Beispiel erklären. Es wäre echt nett.

Du musst eine der beiden Gleichungen so umformen, dass steht x = blabla. Nehmen wir als Beispiel die obere Gleichung. Da stünde dann

x = (10-6y) / 7.

Dann ersetzt du "x" in der unteren Gleichung durch den rechten Teil der soeben hingeschriebenen Gleichung, also

-4 * ((10-6y)/7) - 3y = 7

Dann hast du eine Gleichung mit einer Unbekannten, das kann man lösen.

Du könntest auch y ersetzen oder die untere Gleichung umformen. Spielt alles keine Rolle. Wenn du die Gleichung dann löst, bekommst du eine Zahl für x. Die setzt du in eine der Gleichungen ein (egal in welche) und bekommst so y raus.

Hallo!

Vor der eigentlichen Antwort, hier eine Erklärung:

Lineare Gleichungen bestehen in der Regel aus

Zahlen mit Variablen z.B. 2x wobei dazwischen immer ein Mal steht, es aber nicht geschrieben wird

2x = 2 * x

und reinen Zahlen, z.B. 5

eine Gleichung kann daher in etwa so aussehen:

2x + 3 +8x + 2 = 35 – 5x

Dabei kann es sein, dass auf der einen Seite nur 1 mal Zahlen mit Variablen,
oder nur 1 x eine reine Zahl vorkommt, 10 – 5x oder mehrmals vorkommt, 2x + 5 + 8x

Wichtig ist, es ist immer das = zu beachten,
was auf der einen Seite steht ist gleich dem, was auf der anderen Seite steht,
wie bei einer Wippe auf dem Spielplatz.
Wen also, auf der einen Seite was „weggenommen wird“, muß das gleiche auf der anderen Seite gemacht werden, damit das Gleichheitszeichen stimmt.

8 = 3+5 (auf der linken Seite minus 2)
=> 6 = 3+5 das stimmt nicht,

aber auf beiden Seiten minus 2
=> 6 = 3+5-2 das stimmt.

Dieses Prinzip ist wichtig!

Meist ist es die Aufgabe, die Gleichung so umzuformen/umzurechen, dass die Variable alleine auf der einen Seite des = steht, und eine richtige Zahl auf der anderen. Die Gleichung wird nach der Variablen (meist x genannt) aufgelöst, um zu sehen, welche Zahl in der Ausgangsgleichung für die Variable eingesetzt werden muß, damit die Gleichung stimmt. Dabei wird immer die entgegengesetzte Rechnung angewendet, die vor der Zahl, vor der Variable steht.

Beispiel: 8x + 5 = 45
Um bei 8 x + 5 = 45 die +5 auf der linken Seite „wegzurechen“
muß also auf beiden Seiten -5 gerechnet, links bleibt dann nur 8x stehen,

rechts muß entsprechend gerechnet werden,
also 45-5 = 40, also

8x + 5 = 45 /auf beiden Seiten minus 5
8x = 40 /auf beiden Seiten geteilt durch 8,
bei 8x steht ja eigentlich ein mal
zwischen 8 und x
x = 5

Zurück zur Aufgabe:

2x + 3 + 8x + 2 = 35 – 5x

Hier (wie bei allen Gleichungen) kann es nur eine Zahl geben, die man einsetzten kann, damit die Gleichung stimmt. Das ist dann die Aufgabe.

Als erstes werden auf beiden Seiten die jeweiligen Zahlengruppen (Zahlen mit Variablen und reine Zahlen zusammengefasst, also wie in einem Obstkorb: Äpfel zu Äpfel und Bananen zu Bananen)

2x + 3 + 8x + 2 = 35 – 5x

10x + 5 = 35 – 5x
Bitte immer so schreiben, dass die = Zeichen untereinander stehen

Im nächsten Schritt wird „verschoben“, das heißt „Äpfel“ auf die eine Seite, „Bananen“ auf die andere.
Dabei ist es eigentlich unwichtig, ob die „Äpfel“ links und die „Bananen“ rechts vom = stehen,
oder umgekehrt. „Äpfel“ steht hier für die Zahlen mit Variablen, „Bananen“ für die reinen Zahlen.

Es muß so gerechnet werden, dass auf der einen Seite nur die Variable (eventuell mit einer Zahl davor, z.B.2x) steht und auf der anderen Seite nur eine Zahlen (z.B. 10)

10x + 5 = 35 – 5x

/hier bietet sich an auf beiden Seiten plus 5 x zu rechen:

15x + 5 = 35

Da beide Gleichungen das Gleiche meinen/ausdrücken,sollte vor der zweiten Gleichung das <=> Zeichen stehen,
das ist das so genannte Äquivalenz-Zeichen,
bedeutet also die eine Gleichung ist gleich der anderen

15x + 5 = 35

nun steht links Variable plus reine Zahl und rechts nur eine reine Zahl,
also muß die reine Zahl links auf die andere Seite („Bananen“ zu „Bananen“)

15x + 5 = 35

/auf beiden Seiten minus 5

15x = 30
zwischen 15 und x steht ja eigentlich ein Mal,
also muß die umgekehrt Rechnung gemacht werden

15x = 30

/ auf beiden Seiten geteilt durch 15

x = 2

Das ist die Lösung, meist wird die noch unterstrichen.

Zum Schluß und zur Kontrolle folgt nun noch die Probe, das heißt, die Lösungszahl wird in der Anfangsgleichung für die Variable eingesetzt,
wenn dann das = Zeichen stimmt, ist die Lösungszahl richtig.

Probe:

2x + 3 +8x + 2 = 35 – 5x

überall da, wo ein x steht, kommt nun eine 2
(das ist ja die Lösung gewesen)

2*2 + 3 + 8*2 + 2 = 35 – 5*2 (Es gilt „Punkt-vor-Strich“)

4 +3 + 16 + 2 = 35 - 10

7 + 18 = 35 – 10

25 = 25

In der Anlage noch eine Erklärung zum Einsetzungsverfahren.

Gerne mehr dazu, gerne auch Aufgaben mit(ohne Lösungen!

Viel Spaß, viel Erfolg,
internette Grüße
starliner

Dankeschön